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          小學各年級奧數難點解析,附34個必考公式

          理優升學幫 2022-07-20 08:16:15


          一年級奧數


          一年級的孩子剛剛踏入小學。不論是學習習慣還是學習方法,都需要全面的培養和正確的引導,這就需要家長對整個六年的小學學習有一個全面的規劃。


          學習重點難點解析:


          巧算與速算的基本知識:對于一年級的學生來說,計算是學生學習時遇到的第一個問題。如果能夠在看似無序的算式中尋找到一定的規律,化繁為簡,那么學生一定能夠增強學習數學的信心,提高學習數學的興趣。另外,計算與速算是各種后續問題學習的基礎。學好數學,首先就要過計算這關。


          認識并學會數各種基本圖形:正方形、長方體、圓和立方體等是小學學習中最常見的圖形。通過系統的指導,使一年級的學生能夠計算出各種基本圖形的個數;使學生建立起有序思維,為建立思維模式打下基礎。


          學習簡單的枚舉法:枚舉法對于一年級的學生來說的確是有一定的困難。在華數課本中,介紹這一難題時采用數數這種更為直觀的方式,將復雜抽象的問題形象化,便于孩子們理解。


          枚舉法訓練的重點在于有序的思維方式,學習之初將抽象問題形象化,能夠更好地引導學生去主動思考,建立起自己的思維方式。


          數字的奇與偶、不等與相等等關于數論的基礎知識:數論問題是后續學習中的一個重點,而這學期將要學到的:數字的奇與偶、不等與相等等無疑將會是今后學習的基礎,在這里我們把數論問題分解為各種類型逐一講解,使華數學習更加系統。


          二年級奧數


          二年級是開發孩子智力、形成良好思維習慣的最佳時期,學習奧數不僅能夠極大地鍛煉孩子的思維能力,也能為孩子之后的學習打下堅實的基礎。對于二年級的學生家長來說,激發孩子對華數的興趣是最主要的。


          學習重點難點解析:


          計算要過關:對于二年級學生的奧數學習來說,最先碰到的問題就是計算問題,計算問題是重點也是難點。


          根據學校數學的學習情況,孩子還沒有學習乘除法的列豎式,尤其是乘法的列豎式在二年級華數的學習中要求的比較多,比如華數課本下冊第三講速算與巧算中就多次用到了乘法,另外一些應用題中也會有所應用。所以對于學習下冊華數的學生,首先計算關一定要過。


          枚舉是難點:對于二年級的學生來說,有序思維和抽象思維是比較困難的,對于問題,二年級的學生更多的愿意以湊數來嘗試解答問題。


          而枚舉法的問題需要的就是孩子的有序思維,比如華數課本上冊幾枚硬幣湊錢的方法,下冊的整數拆分都屬于枚舉法的問題。這類問題不僅要求孩子要有序,同時直觀性不強,對于孩子理解有一定困難。建議家長可以比較抽象的問題形象化,比如上面舉到的漢堡和汽水的例子就更加形象。


          應用題要接觸:二年級華數課本下冊中的后幾講已經接觸到了應用題部分,對于倍數等概念也有學習,建議學有余力的孩子可以適當接觸三年級中的部分問題,但是難度不要像三年級華數課本中那樣大。


          三年級奧數


          三年級的奧數學習是小學奧數最重要的基礎階段,只有牢固掌握了三年級奧數最基本的知識技巧,才能有效的促進今后的數學學習,最終在競賽、以及小升初中有所斬獲。


          學習重點難點解析:


          三年級屬于奧數學習打基礎階段,孩子進入三年級以后,隨著年齡的增長,孩子的計算能力,認知能力,邏輯分析能力相比于一、二年級有很大的提高,這個時期是奧數思維形成的關鍵時期,是學奧數的黃金時段,所以能否把握住三年級這一黃金時段,關系到以后小升初的成與敗。


          下面就簡要介紹一下三年級下學期學習的關鍵知識點。


          1.運用運算定律及性質速算與巧算


          計算是數學學習的基本知識,也是學好奧數的基礎。能否又快又準的算出答案,是歷年數學競賽考察的一個基本點。在三年級,主要學習了加法與乘法運算定律,其中應用乘法分配率是競賽中考察巧算的一大重點;除此之外,競賽中還時??疾鞄Х枴鞍峒摇迸c添括號/去括號這兩種通過改變運算順序進而簡便運算的思路。例如:17×5+17×7+13×5+13×7


          問題解析:由于四個加項沒有公共的乘數,不能直接應用乘法分配率??梢钥紤]先分組應用乘法分配率,在觀察的思路,原式=(17×5+17×7)+(13×5+13×7)=17×(5+7)+13×(5+7)=17×12+13×12=(17+13)×12=30×12


          2、學習假設思想解決雞兔同籠問題


          雞兔同籠問題源于我國1500年前左右的偉大數學著作《孫子算經》,其中記載的31題,“今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雞兔各幾何?”翻譯成現代文就是說有若干只雞兔同在一個籠子里,從上面數,有35個頭;從下面數,有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔?


          問題解析:我們知道每只雞2只腳,每只兔子4只腳,我們不妨假設籠子里面只有雞,那么應該有只腳,而事實上有94只腳,原因就是我們把一部分兔子假設成了雞。


          我們知道,每只兔子比雞多2只腳,那么一共應該有只兔子,剩下了35–12=23只雞。


          對于一般的雞兔同籠問題,我們有雞數=(兔的腳數總頭數–總腳數)(兔的腳數-雞的腳數)


          兔數=(總腳數-雞的腳數總頭數)(兔的腳數-雞的腳數)


          3.平均數應用題


          “平均數”這個數學概念在同學們的日常學習和生活中經常用到。例如,三年級上學期期末考完試,可以計算全班同學的數學“平均成績”,同學與爸爸媽媽三個人的“平均年齡”等等,都是我們經常碰到的求平均數的問題。


          根據我們所舉的例子,可以總結出求平均數的一般公式:總數和÷人數(或個數)=平均數。,95,98,97,90,那么第2小組5名同學的數學平均分是多少呢?


          問題解析:根據我們總結的公式,首先可以求出第2小組5名同學數學的總分一共是93+95+98+97+92=475,所以他們的平均分是475÷5=95(分)。



          4.和差倍應用題


          和差倍問題是由和差問題、和倍問題、差倍問題三類問題組成的。


          和倍問題是已知大小兩個數的和與它們的倍數關系,求大小兩個數的應用題,一般可應用公式:數量和÷對應的倍數和=“1”倍量;


          差倍問題就是已知大小兩個數的差和它們的倍數關系,求大小兩個數的應用題,一般可應用公式:數量差÷對應的倍數差=“1”倍量;


          和差問題是已知大小兩個數的和與兩個數的差,求大小兩個數的應用題一般可應用公式:大數=(數量和+數量差)÷2,小數=(數量和-數量差)÷2。


          為了幫助我們理解題意,弄清題目中兩種量彼此間的關系,常采用畫線段圖的方法以線段的相對長度來表示兩種量間的關系,以便于找到解題的途徑。


          5.年齡問題


          基本的年齡問題可以說是和差倍問題生活化的典型應用。同時,年齡問題也有其鮮明的特點:任何兩個人之間的年齡差保持不變。解決年齡問題,關鍵就是要抓住以上兩點。例如:哥哥兩年后的年齡是弟弟年齡的2倍,今年哥哥比弟弟大5歲,那么今年弟弟多少歲?


          問題解析:由于兩人之間的年齡差不變,在2年之后哥哥仍然比弟弟大5歲,那時哥哥是弟弟年齡的2倍,這就變成了一道差倍問題,也就是說弟弟的年齡在2年后是5÷(2-1)=5(歲),所以今年弟弟5-2=3(歲)。


          四年級奧數


          四年級是一個承前啟后的階段,學習內容的難度和廣度有所增加,各種競賽任務和招生考試的成績重要性大大增加。


          不論自己的孩子是剛剛開始學習奧數,還是已經著手為競賽、升學做準備,如何更好的完成四年級的學習計劃,如何做好四年級和五年級的過渡,如何規劃小升初之前的這兩年時間是每個家長都要面對的問題。


          學習重點難點解析:


          1、計算:計算是貫穿整個小學階段的重點,每個年級奧數的學習都以計算為基礎,較好的計算能力是學好其它章節,取得優異成績的保證。


          每個年級的計算有每個年級的特點,四年級的計算以加入了小數的計算為主,對于奧數基礎扎實的同學并且希望在五年級取得一些成績的同學還應該加入一些分數的計算。


          四年級計算應該掌握的重點題型有多位數的計算,小數的基本運算,小數的簡便運算等。其中,多位數的計算主要以通過縮放講多位數湊成各位數全是9的多位數,再利用乘法的分配率進行計算。小數的簡便運算主要與等差數列求和、乘法的分配率和結合率、換元法等結合在一起,需要同學們對各種題型熟練的掌握,尤其是多位數的計算。


          最后,小數計算的重點還是最基礎的小數的加減乘除混合運算,在初學小數時由于小數點的原因計算經常出錯,如果計算不準確,再好的方法和技巧都無從談起。


          所以,四年級學習計算的重點在于以基礎計算為主,掌握各種簡便運算技巧,提高準確度和速度。


          2、平均數問題:在學習平均數問題的時候一定要先對平均數的概念有很好的理解。我們在授課過程中經常發現絕大多數同學在解平均數問題時經常犯一個錯,尤其是在行程問題中的一道題,錯誤率最高。


          小明從學校到家速度為12,從家到學校速度為24,問往返的平均速度是多少?很多同學答案都是18,誤以為平均數度就是速度的平均,這是不對的。


          在學習平均數問題的時候還要會利用基準數處理一大串數據的求和問題和求平均數的問題。很多復雜的平均數問題都是可以利用濃度三角的方法來解決的,尤其是思維導引中后面的一些復雜的平均數問題,同學們應該嘗試用濃度三角的方法來解決平均數問題。


          平均數問題的學習對以后濃度問題的學習很有好處,因為大部分平均問題的題型和濃度問題的題型從本質上來講是相同的。


          3、行程問題:四年級行程問題要掌握以下各類的問題:相遇問題、追及問題、火車相遇問題、流水行船問題、多次相遇問題等。


          首先,我們要對基本的相遇問題和追及問題有非常深刻的了解,在學習過程中經常有同學到六年級了對于追及問題中兩個人所走的時間是否相等還經常容易出錯。


          其次,我們要熟悉并掌握火車相遇問題和流水行船問題這兩個行程問題中最基本的專題,對我們后面復雜行程問題的學習起到非常大的幫助。


          最后,要掌握行程問題中解決復雜問題常用的技巧,劃線段的習慣,并養成良好、簡潔的解題習慣。


          畫線段圖的方法是解決很多復雜行程問題常用的方法,很多同學在畫線段圖的時候不夠簡潔,常常畫出的線段圖中多余的線段和條件太多,導致畫出的線段圖比題目本身還復雜,無法分析求解。在平時的學習中應該盡量模仿老師,養成良好的解題習慣。


          4、排列組合:排列組合是對上學期所學的加法原理和乘法原理兩講的一個升華。在加法原理和乘法原理中大家對分步和分類有了一定程度的理解和掌握,排列組合在此基礎上提供了更專業更有效解決計數問題的方法。


          在排列組合中首先要對排列組合的概念、排列數與組合數的計算、排列與組合的區別等有很好的理解,尤其是排列和組合的區分上,需要對一些經典例題的掌握從而來理解排列和組合的區別。


          同時,很多問題好需要結合分類分步方法和排列組合的原理來解題,并不是單純的排解組合公式的應用。對于一些基礎不好的同學,一定要在熟練掌握加法原理和乘法原理之后再來學習排列組合的知識。對于一些排列組合常見的題型和常用的方法要做到信手拈來。


          5、幾何計數與周期性問題:幾何計數和周期性問題相對于行程和排列組合來說是兩個較小的專題,但是也是各大競賽和入學考試常見題型,尤其是很多綜合題同時包含數論和周期性問題的相關知識點,是競賽和備考的重中之重。


          幾何級數的掌握要從線段、角、三角形、長方形開始,學會用簡單的方法來解決復雜計數問題的步驟。而周期性問題常和等差數列、數論結合在一起,同學在做題題時經常容易出錯,需要在這方面的加大做題量。


          五年級奧數


          五年級下學期是小升初前的最后一個學期,對于整個小學階段的數學學習起著至關重要的作用,只有這一關過好了,才可能在小升初的備考中游刃有余。所以這學期的奧數學習應該有更強的針對性,針對自己的實際情況和目標選擇合適的班型。


          學習重點難點解析:


          五年級屬于小學高年級,孩子進入五年級以后,隨著年齡的增長,孩子的計算能力,認知能力,邏輯分析能力都比以前有很大的提高,這個時期是奧數思維形成的關鍵時期,是學奧數的黃金時段,所以是否把握住五年級這個黃金時段,關系到以后小升初的成與敗。


          那么在整個五年級階段都有哪些重點知識呢?為了孩子更好的把握五年級的學習重點,下面就介紹一下五年級的關鍵知識點。


          1.進入數學寶庫的分析方法——遞推方法:任何事物的發展總是從簡單到復雜,奧數也是一樣,對于復雜問題,我們不妨先從最簡單的情況入手,通過處理簡單的問題,我們可以從中得到規律或者訣竅,從而來解決復雜的問題,這就是遞推方法。


          比如說:平面上2008條直線最多有幾個交點?同學們第一眼看到這個問題時,肯定會想畫2008條直線相交然后再數交點個數,那該是多麻煩??!其實我們可以先來解決簡單點的情況,分別找到1條、2條、3條、4條……這些直線有多少個交點。


          1條直線最多有0個交點


          2條直線最多有1個交點


          3條直線最多有3個交點


          4條直線最多有6個交點


          5條直線最多有10個交點


          6條直線最多有15個交點


          ……


          所以2008條直線有1+2+3+4+5+…+2007=2015028個交點。


          那么聰明的你,你能算出2008條直線最多可以把圓分成幾部分么?


          2.變化無窮、形跡不定的行程問題:提到行程問題,同學們可能就感到頭疼,的確不錯,因為行程問題中各個物體的速度、時間、路程都在變化,而且各個物體都是在運動中,位置是隨著時間在變化,所以分析起來就很麻煩。


          為了更好的解決這個問題,我們把行程問題進行了細分:基本行程(單個物體)、平均速度、相遇、追及、流水行船、火車過橋、火車錯車、鐘表問題、環形線路上行程。


          只要我們掌握這些每個小類型中的訣竅,形成一種分析思路,復雜的行程問題無非是這些類型的變形而已,解決起來就容易多了。


          3.抽象而又雜亂的數論問題:數論是從五年級的核心知識,無論是在哪本教材里,都用了很多的章節來講解數論。


          要想解決復雜的數論問題,我們首先得掌握數論的基本知識:數的奇偶性、約數(現在叫因數)、倍數、公約數及最大公約數、公倍數及最小公倍數、質數、合數、分解質因數、整除、余數及同余等。


          這些基本知識點里又有些非常有代表性的例題,只要能掌握好這些知識點,然后做一定量的數論綜合習題,碰到難的數論問題我們就容易解決了。


          4.有趣的抽屜原理:生活中有很多有趣的事情,比如說:把4個蘋果放到3個抽屜里,無論你怎么放,總有某個抽屜里至少有2個蘋果,這就是抽屜原理。


          對于抽屜原理我們只要找到蘋果的個數a與抽屜的個數b,我們就可以得到下面的結論:


          若a÷b=r……


          當q=0時,我們就說總有某個抽屜里至少有r個蘋果;


          當q0時,我們就說總有某個抽屜里至少有(r+1)個蘋果。


          比如說把32個蘋果放進8個抽屜里,因為32÷8=4,無論怎么放,總有某個抽屜里有4個蘋果。如果把35個蘋果放進8個抽屜里,因為35÷8=4……3,無論怎么放,總有某個抽屜里有4+1=5個蘋果。


          但是大部分的奧數題是沒有告訴我們抽屜的個數的,那樣我們就得自己構造抽屜,從而找出抽屜的個數。


          5.圖形面積計算:求圖形的面積也是奧數中的一個難點,對于這類題我們首先要掌握好各種基本圖形的面積計算公式,然后記住一些重要的結論:比如說三角形的等積變形、直角三角形中30度所對的邊是斜邊的一半、勾股定理、梯形中蝴蝶翅膀原理、相似三角形中邊與面積的關系。


          在計算面積時的方法有:直接計算法、割補法、方程法等。在圖形面積計算中,難題往往得添加輔助線,這個就是難點所在,因為添加輔助線非常靈活,這就要我們多做些這方面的題,多積累一些添加輔助線的技巧,做到心中有數。


          六年級奧數


          現在正是小升初特別關鍵的一個時期,無論從信息還是自身的學習方面都要做好充分的準備。


          下面主要說說當機會擺在面前的時候我們應該怎樣去把握住它,首先要明確一點,小升初并不是我們的最終目標,而只是為了孩子今后的學習打下一個良好的基礎。


          所以我們一定要重視孩子學習習慣的培養,舉個很簡單的例子:很多同學做題的時候審題不認真,經常把會做的題目做錯,即使是最厲害的學生,如果把題目看錯了,那也是不可能把題目做對的。


          這一點特別特別的重要,無論是小升初還是今后的中考高考,因為現在的衡量標準其實并不是比誰更“聰明”,而是比誰更認真,學習更扎實。


          從最近的一些學校的考試我們就可以看出一個趨勢,就是題量大,時間段,對于單位時間內的做題效率有很高的要求,這個效率體現在兩個方面,就是速度和正確率。


          學習重點難點解析:


          1、分數百分數問題,比和比例:


          這是六年級的重點內容,在歷年各個學校測試中所占比例非常高,重點應該掌握好以下內容:


          對單位1的正確理解,知道甲比乙多百分之幾和乙比甲少百分之幾的區別;


          求單位1的正確方法,用具體的量去除以對應的分率,找到對應關系是重點;


          分數比和整數比的轉化,了解正比和反比關系;


          通過對“份數”的理解結合比例解決和倍(按比例分配)和差倍問題;


          2、行程問題:


          應用題里最重要的內容,因為綜合考察了學生比例,方程的運用以及分析復雜問題的能力,所以常常作為壓軸題出現,重點應該掌握以下內容:


          路程速度時間三個量之間的比例關系,即當路程一定時,速度與時間成反比;速度一定時,路程與時間成正比;時間一定時,速度與路程成正比。特別需要強調的是在很多題目中一定要先去找到這個“一定”的量;


          當三個量均不相等時,學會通過其中兩個量的比例關系求第三個量的比;


          學會用比例的方法分析解決一般的行程問題;


          有了以上基礎,進一步加強多次相遇追及問題及火車過橋流水行船等特殊行程問題的理解,重點是學會如何去分析一個復雜的題目,而不是一味的做題。


          3、幾何問題:


          幾何問題是各個學??疾斓闹攸c內容,分為平面幾何和立體幾何兩大塊,具體的平面幾何里分為直線形問題和圓與扇形;立體幾何里分為表面積和體積兩大部分內容。學生應重點掌握以下內容:


          等積變換及面積中比例的應用;


          與圓和扇形的周長面積相關的幾何問題,處理不規則圖形問題的相關方法;


          立體圖形面積:染色問題、切面問題、投影法、切挖問題;


          立體圖形體積:簡單體積求解、體積變換、浸泡問題。


          4、數論問題:


          ??純热?,而且可以應用于策略問題,數字謎問題,計算問題等其他專題中,相當重要,應重點掌握以下內容:


          掌握被特殊整數整除的性質,如數字和能被9整除的整數一定是9的倍數等;


          最好了解其中的道理,因為這個方法可以用在許多題目中,包括一些數字謎問題;


          掌握約數倍數的性質,會用分解質因數法,短除法,輾轉相除法求兩個數的最大公因數和最小公倍數;


          學會求約數個數的方法,為了提高靈活運用的能力,需了解這個方法的原理;


          了解同余的概念,學會把余數問題轉化成整除問題,下面的這個性質是非常有用的:兩個數被第三個數去除,如果所得的余數相同,那么這兩個數的差就能被這個數整除;


          能夠解決求一個多位數除以一個較小的自然數所得的余數問題,例如求1011121314…9899除以11的余數,以及求20082008除以13的余數這類問題。


          5、計算問題:


          計算問題通常在前幾個題目中出現概率較高,主要考察兩個方面,一個是基本的四則運算能力,同時,一些速算巧算及裂項換元等技巧也經常成為考察的重點。我們應該重點掌握以下內容:


          計算基本功的訓練;


          利用乘法分配率進行速算與巧算;


          分小數互化及運算,繁分數運算;


          估算與比較;


          計算公式應用。如等差數列求和,平方差公式等;


          裂項,換元與通項公式。



          34個小學奧數必考公式


          1、和差倍問題:



          和差問題

          和倍問題

          差倍問題

          已知條件

          幾個數的和與差

          幾個數的和與倍數

          幾個數的差與倍數

          公式適用范圍

          已知兩個數的和,差,倍數關系

          公式

          ①(和-差)÷2=較小數

          較小數+差=較大數

          和-較小數=較大數

          ②(和+差)÷2=較大數

          較大數-差=較小數

          和-較大數=較小數

          和÷(倍數+1)=小數

          小數×倍數=大數

          和-小數=大數

          差÷(倍數-1)=小數

          小數×倍數=大數

          小數+差=大數

          關鍵問題

          求出同一條件下的

          和與差

          和與倍數

          差與倍數




          2、年齡問題的三個基本特征:


          ①兩個人的年齡差是不變的;

          ②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的;

          ③兩個人的年齡的倍數是發生變化的;




          3、歸一問題的基本特點:


          問題中有一個不變的量,一般是那個“單一量”,題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。


          關鍵問題:

          根據題目中的條件確定并求出單一量;




          4、植樹問題:


          基本類型

          在直線或者不封閉的曲線上植樹,兩端都植樹

          在直線或者不封閉的曲線上植樹,兩端都不植樹

          在直線或者不封閉的曲線上植樹,只有一端植樹

          封閉曲線上植樹

          基本公式

          棵數=段數+1

          棵距×段數=總長

          棵數=段數-1

          棵距×段數=總長

          棵數=段數

          棵距×段數=總長

          關鍵問題

          確定所屬類型,從而確定棵數與段數的關系




          5、雞兔同籠問題:


          基本概念:

          雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題,就是把假設錯的那部分置換出來;


          基本思路:

          ①假設,即假設某種現象存在(甲和乙一樣或者乙和甲一樣):

          ②假設后,發生了和題目條件不同的差,找出這個差是多少;

          ③每個事物造成的差是固定的,從而找出出現這個差的原因;

          ④再根據這兩個差作適當的調整,消去出現的差。


          基本公式:

          ①把所有雞假設成兔子:雞數=(兔腳數×總頭數-總腳數)÷(兔腳數-雞腳數)

          ②把所有兔子假設成雞:兔數=(總腳數一雞腳數×總頭數)÷(兔腳數一雞腳數)

          關鍵問題:找出總量的差與單位量的差。




          6、盈虧問題:


          基本概念:

          一定量的對象,按照某種標準分組,產生一種結果:按照另一種標準分組,又產生一種結果,由于分組的標準不同,造成結果的差異,由它們的關系求對象分組的組數或對象的總量。


          基本思路:

          先將兩種分配方案進行比較,分析由于標準的差異造成結果的變化,根據這個關系求出參加分配的總份數,然后根據題意求出對象的總量。


          基本題型:

          ①一次有余數,另一次不足;

          基本公式:總份數=(余數+不足數)÷兩次每份數的差

          ②當兩次都有余數;

          基本公式:總份數=(較大余數一較小余數)÷兩次每份數的差

          ③當兩次都不足;

          基本公式:總份數=(較大不足數一較小不足數)÷兩次每份數的差


          基本特點:

          對象總量和總的組數是不變的。


          關鍵問題:

          確定對象總量和總的組數。




          7、牛吃草問題:


          基本思路:

          假設每頭牛吃草的速度為“1”份,根據兩次不同的吃法,求出其中的總草量的差;再找出造成這種差異的原因,即可確定草的生長速度和總草量。


          基本特點

          原草量和新草生長速度是不變的;


          關鍵問題

          確定兩個不變的量。


          基本公式:

          生長量=(較長時間×長時間牛頭數-較短時間×短時間牛頭數)÷(長時間-短時間);

          總草量=較長時間×長時間牛頭數-較長時間×生長量;




          8、周期循環與數表規律:


          周期現象:

          事物在運動變化的過程中,某些特征有規律循環出現。


          周期:

          我們把連續兩次出現所經過的時間叫周期。


          關鍵問題:

          確定循環周期。

          閏 ? ?年:一年有366天;

          ①年份能被4整除;②如果年份能被100整除,則年份必須能被400整除;

          平 ? 年:一年有365天。

          ①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除;




          9、平均數:


          基本公式:

          ①平均數=總數量÷總份數

          總數量=平均數×總份數

          總份數=總數量÷平均數

          ②平均數=基準數+每一個數與基準數差的和÷總份數


          基本算法:

          ①求出總數量以及總份數,利用基本公式①進行計算.

          ②基準數法:根據給出的數之間的關系,確定一個基準數;一般選與所有數比較接近的數或者中間數為基準數;以基準數為標準,求所有給出數與基準數的差;再求出所有差的和;再求出這些差的平均數;最后求這個差的平均數和基準數的和,就是所求的平均數,具體關系見基本公式②




          10、抽屜原理:


          抽屜原則一:

          如果把(n+1)個物體放在n個抽屜里,那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。

          例:把4個物體放在3個抽屜里,也就是把4分解成三個整數的和,那么就有以下四種情況:

          ①4=4+0+0 ? ②4=3+1+0 ? ③4=2+2+0 ? ④4=2+1+1

          觀察上面四種放物體的方式,我們會發現一個共同特點:總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體,也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。


          抽屜原則二:

          如果把n個物體放在m個抽屜里,其中n>m,那么必有一個抽屜至少有:

          ①k=[n/m ]+1個物體:當n不能被m整除時。

          ②k=n/m個物體:當n能被m整除時。


          理解知識點:

          [X]表示不超過X的最大整數。

          例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;


          關鍵問題:

          構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量,而后依據抽屜原則進行運算。




          11、定義新運算:


          基本概念:

          定義一種新的運算符號,這個新的運算符號包含有多種基本(混合)運算。


          基本思路:

          嚴格按照新定義的運算規則,把已知的數代入,轉化為加減乘除的運算,然后按照基本運算過程、規律進行運算。


          關鍵問題:

          正確理解定義的運算符號的意義。


          注意事項:

          ①新的運算不一定符合運算規律,特別注意運算順序。

          ②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。




          12、數列求和:


          等差數列:

          在一列數中,任意相鄰兩個數的差是一定的,這樣的一列數,就叫做等差數列。


          基本概念:

          首項:等差數列的第一個數,一般用a1表示;

          項數:等差數列的所有數的個數,一般用n表示;

          公差:數列中任意相鄰兩個數的差,一般用d表示;

          通項:表示數列中每一個數的公式,一般用an表示;

          數列的和:這一數列全部數字的和,一般用Sn表示.


          基本思路:

          等差數列中涉及五個量:a1 ,an, d, n,sn,,通項公式中涉及四個量,如果己知其中三個,就可求出第四個;求和公式中涉及四個量,如果己知其中三個,就可以求這第四個。


          基本公式:

          通項公式:an = a1+(n-1)d;

          通項=首項+(項數一1)×公差;

          數列和公式:sn,= (a1+ an)×n÷2;

          數列和=(首項+末項)×項數÷2;

          項數公式:n= (an+ a1)÷d+1;

          項數=(末項-首項)÷公差+1;

          公差公式:d =(an-a1))÷(n-1);

          公差=(末項-首項)÷(項數-1);


          關鍵問題:

          確定已知量和未知量,確定使用的公式;




          13、二進制及其應用:


          十進制:

          用0~9十個數字表示,逢10進1;不同數位上的數字表示不同的含義,十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。

          =An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100

          注意:N0=1;N1=N(其中N是任意自然數)


          二進制:

          用0~1兩個數字表示,逢2進1;不同數位上的數字表示不同的含義。

          (2)= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7

          +……+A3×22+A2×21+A1×20

          注意:An不是0就是1。


          十進制化成二進制:

          ①根據二進制滿2進1的特點,用2連續去除這個數,直到商為0,然后把每次所得的余數按自下而上依次寫出即可。

          ②先找出不大于該數的2的n次方,再求它們的差,再找不大于這個差的2的n次方,依此方法一直找到差為0,按照二進制展開式特點即可寫出。




          14、加法乘法原理和幾何計數:


          加法原理:

          如果完成一件任務有n類方法,在第一類方法中有m1種不同方法,在第二類方法中有m2種不同方法……,在第n類方法中有mn種不同方法,那么完成這件任務共有:m1+ m2....... +mn種不同的方法。


          關鍵問題:

          確定工作的分類方法。


          基本特征:

          每一種方法都可完成任務。


          乘法原理:

          如果完成一件任務需要分成n個步驟進行,做第1步有m1種方法,不管第1步用哪一種方法,第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法,第n步總有mn種方法,那么完成這件任務共有:m1×m2.......×mn種不同的方法。


          關鍵問題:

          確定工作的完成步驟。


          基本特征:

          每一步只能完成任務的一部分。


          直線:

          一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動,形成的軌跡。


          直線特點:

          沒有端點,沒有長度。


          線段:

          直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。


          線段特點:

          有兩個端點,有長度。


          射線:

          把直線的一端無限延長。


          射線特點:

          只有一個端點;沒有長度。

          ①數線段規律:總數=1+2+3+…+(點數一1);

          ②數角規律=1+2+3+…+(射線數一1);

          ③數長方形規律:個數=長的線段數×寬的線段數:

          ④數長方形規律:個數=1×1+2×2+3×3+…+行數×列數




          15、質數與合數:


          質數:

          一個數除了1和它本身之外,沒有別的約數,這個數叫做質數,也叫做素數。


          合數:

          一個數除了1和它本身之外,還有別的約數,這個數叫做合數。


          質因數:

          如果某個質數是某個數的約數,那么這個質數叫做這個數的質因數。


          分解質因數:

          把一個數用質數相乘的形式表示出來,叫做分解質因數。通常用短除法分解質因數。任何一個合數分解質因數的結果是唯一的。


          分解質因數的標準表示形式:

          N=?,其中a1、a2、a3……an都是合數N的質因數,且a1<a2<a3<……<an。


          求約數個數的公式:

          P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)


          互質數:

          如果兩個數的最大公約數是1,這兩個數叫做互質數。




          16、約數與倍數:


          約數和倍數:

          若整數a能夠被b整除,a叫做b的倍數,b就叫做a的約數。


          公約數:

          幾個數公有的約數,叫做這幾個數的公約數;其中最大的一個,叫做這幾個數的最大公約數。


          最大公約數的性質:

          1、 ? 幾個數都除以它們的最大公約數,所得的幾個商是互質數。

          2、 ? 幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。

          3、 ? 幾個數的公約數,都是這幾個數的最大公約數的約數。

          4、 ? 幾個數都乘以一個自然數m,所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公約數乘以m。

          例如:12的約數有1、2、3、4、6、12;

          18的約數有:1、2、3、6、9、18;

          那么12和18的公約數有:1、2、3、6;

          那么12和18最大的公約數是:6,記作(12,18)=6;


          求最大公約數基本方法:

          1、分解質因數法:先分解質因數,然后把相同的因數連乘起來。

          2、短除法:先找公有的約數,然后相乘。

          3、輾轉相除法:每一次都用除數和余數相除,能夠整除的那個余數,就是所求的最大公約數。


          公倍數:

          幾個數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數;其中最小的一個,叫做這幾個數的最小公倍數。

          12的倍數有:12、24、36、48……;

          18的倍數有:18、36、54、72……;

          那么12和18的公倍數有:36、72、108……;

          那么12和18最小的公倍數是36,記作[12,18]=36;


          最小公倍數的性質:

          1、兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。

          2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。

          求最小公倍數基本方法:1、短除法求最小公倍數;2、分解質因數的方法




          17、數的整除:


          基本概念和符號:

          1、整除:如果一個整數a,除以一個自然數b,得到一個整數商c,而且沒有余數,那么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。

          2、常用符號:整除符號“|”,不能整除符號“ ”;因為符號“∵”,所以的符號“∴”;


          整除判斷方法:

          1.能被2、5整除:末位上的數字能被2、5整除。

          2.能被4、25整除:末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。

          3.能被8、125整除:末三位的數字所組成的數能被8、125整除。

          4.能被3、9整除:各個數位上數字的和能被3、9整除。

          5.能被7整除:

          ①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。

          ②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的2倍后能被7整除。

          6.能被11整除:

          ①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。

          ②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。

          ③逐次去掉最后一位數字并減去末位數字后能被11整除。

          7.能被13整除:

          ①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。

          ②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的9倍后能被13整除。


          整除的性質:

          1.如果a、b能被c整除,那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。

          2.如果a能被b整除,c是整數,那么a乘以c也能被b整除。

          3.如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。

          4.如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍數整除。




          18、余數及其應用:


          基本概念:

          對任意自然數a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數,q叫做a除以b的不完全商。


          余數的性質:

          ①余數小于除數。

          ②若a、b除以c的余數相同,則c|a-b或c|b-a。

          ③a與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。

          ④a與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的積除以c的余數。




          19、余數、同余與周期:


          同余的定義:

          ①若兩個整數a、b除以m的余數相同,則稱a、b對于模m同余。

          ②已知三個整數a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對于模m同余,記作a≡b(mod ?m),讀作a同余于b模m。


          同余的性質:

          ①自身性:a≡a(mod ?m);

          ②對稱性:若a≡b(mod ?m),則b≡a(mod ?m);

          ③傳遞性:若a≡b(mod ?m),b≡c(mod ?m),則a≡ c(mod ?m);

          ④和差性:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),則a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m);

          ⑤相乘性:若a≡ b(mod ?m),c≡d(mod ?m),則a×c≡ b×d(mod ?m);

          ⑥乘方性:若a≡b(mod ?m),則an≡bn(mod ?m);

          ⑦同倍性:若a≡ b(mod m),整數c,則a×c≡ b×c(mod ?m×c);


          關于乘方的預備知識:

          ①若A=a×b,則MA=Ma×b=(Ma)b

          ②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md


          被3、9、11除后的余數特征:

          ①一個自然數M,n表示M的各個數位上數字的和,則M≡n(mod 9)或(mod 3);

          ②一個自然數M,X表示M的各個奇數位上數字的和,Y表示M的各個偶數數位上數字的和,則M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);


          費爾馬小定理:

          如果p是質數(素數),a是自然數,且a不能被p整除,則ap-1≡1(mod p)。




          20、分數與百分數的應用:


          基本概念與性質:

          分數:把單位“1”平均分成幾份,表示這樣的一份或幾份的數。

          分數的性質:分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數(0除外),分數的大小不變。

          分數單位:把單位“1”平均分成幾份,表示這樣一份的數。

          百分數:表示一個數是另一個數百分之幾的數。


          常用方法:

          ①逆向思維方法:從題目提供條件的反方向(或結果)進行思考。

          ②對應思維方法:找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系。

          ③轉化思維方法:把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數關系;把不同的標準(在分數中一般指的是一倍量)下的分率轉化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

          ④假設思維方法:為了解題的方便,可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立,計算出相應的結果,然后再進行調整,求出最后結果。

          ⑤量不變思維方法:在變化的各個量當中,總有一個量是不變的,不論其他量如何變化,而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況:A、分量發生變化,總量不變。B、總量發生變化,但其中有的分量不變。C、總量和分量都發生變化,但分量之間的差量不變化。

          ⑥替換思維方法:用一種量代替另一種量,從而使數量關系單一化、量率關系明朗化。

          ⑦同倍率法:總量和分量之間按照同分率變化的規律進行處理。

          ⑧濃度配比法:一般應用于總量和分量都發生變化的狀況。




          21、分數大小的比較:


          基本方法:

          ①通分分子法:使所有分數的分子相同,根據同分子分數大小和分母的關系比較。

          ②通分分母法:使所有分數的分母相同,根據同分母分數大小和分子的關系比較。

          ③基準數法:確定一個標準,使所有的分數都和它進行比較。

          ④分子和分母大小比較法:當分子和分母的差一定時,分子或分母越大的分數值越大。

          ⑤倍率比較法:當比較兩個分子或分母同時變化時分數的大小,除了運用以上方法外,可以用同倍率的變化關系比較分數的大小。(具體運用見同倍率變化規律)

          ⑥轉化比較方法:把所有分數轉化成小數(求出分數的值)后進行比較。

          ⑦倍數比較法:用一個數除以另一個數,結果得數和1進行比較。

          ⑧大小比較法:用一個分數減去另一個分數,得出的數和0比較。

          ⑨倒數比較法:利用倒數比較大小,然后確定原數的大小。

          ⑩基準數比較法:確定一個基準數,每一個數與基準數比較。




          22、分數拆分:


          將一個分數單位分解成兩個分數之和的公式:





          23、完全平方數:


          完全平方數特征:

          1.末位數字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。

          2.除以3余0或余1;反之不成立。

          3.除以4余0或余1;反之不成立。

          4.約數個數為奇數;反之成立。

          5.奇數的平方的十位數字為偶數;反之不成立。

          6.奇數平方個位數字是奇數;偶數平方個位數字是偶數。

          7.兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。


          平方差公式:

          X2-Y2=(X-Y)(X+Y)


          完全平方和公式:

          (X+Y)2=X2+2XY+Y2


          完全平方差公式:

          (X-Y)2=X2-2XY+Y2




          24、比和比例:


          比:

          兩個數相除又叫兩個數的比。比號前面的數叫比的前項,比號后面的數叫比的后項。


          比值:

          比的前項除以后項的商,叫做比值。


          比的性質:

          比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(零除外),比值不變。


          比例:

          表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或


          比例的性質:

          兩個外項積等于兩個內項積(交叉相乘),ad=bc。


          正比例:

          若A擴大或縮小幾倍,B也擴大或縮小幾倍(AB的商不變時),則A與B成正比。


          反比例:

          若A擴大或縮小幾倍,B也縮小或擴大幾倍(AB的積不變時),則A與B成反比。


          比例尺:

          圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。


          按比例分配:

          把幾個數按一定比例分成幾份,叫按比例分配。




          25、綜合行程:


          基本概念:

          行程問題是研究物體運動的,它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系.


          基本公式:

          路程=速度×時間;路程÷時間=速度;路程÷速度=時間


          關鍵問題:

          確定運動過程中的位置和方向。


          相遇問題:速度和×相遇時間=相遇路程(請寫出其他公式)

          追及問題:追及時間=路程差÷速度差(寫出其他公式)

          流水問題:順水行程=(船速+水速)×順水時間

          逆水行程=(船速-水速)×逆水時間

          順水速度=船速+水速

          逆水速度=船速-水速

          靜水速度=(順水速度+逆水速度)÷2

          水 ? ?速=(順水速度-逆水速度)÷2

          流水問題:關鍵是確定物體所運動的速度,參照以上公式。

          過橋問題:關鍵是確定物體所運動的路程,參照以上公式。

          主要方法:畫線段圖法


          基本題型:

          已知路程(相遇路程、追及路程)、時間(相遇時間、追及時間)、速度(速度和、速度差)中任意兩個量,求第三個量。




          26、工程問題:


          基本公式:

          ①工作總量=工作效率×工作時間

          ②工作效率=工作總量÷工作時間

          ③工作時間=工作總量÷工作效率


          基本思路:

          ①假設工作總量為“1”(和總工作量無關);

          ②假設一個方便的數為工作總量(一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數),利用上述三個基本關系,可以簡單地表示出工作效率及工作時間.


          關鍵問題:

          確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。




          27、邏輯推理:


          條件分析—假設法:

          假設可能情況中的一種成立,然后按照這個假設去判斷,如果有與題設條件矛盾的情況,說明該假設情況是不成立的,那么與他的相反情況是成立的。例如,假設a是偶數成立,在判斷過程中出現了矛盾,那么a一定是奇數。


          條件分析—列表法:

          當題設條件比較多,需要多次假設才能完成時,就需要進行列表來輔助分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中,表格的行、列分別表示不同的對象與情況,觀察表格內的題設情況,運用邏輯規律進行判斷。


          條件分析—圖表法:

          當兩個對象之間只有兩種關系時,就可用連線表示兩個對象之間的關系,有連線則表示“是,有”等肯定的狀態,沒有連線則表示否定的狀態。例如A和B兩人之間有認識或不認識兩種狀態,有連線表示認識,沒有表示不認識。


          邏輯計算:

          在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外,還要進行相應的計算,根據計算的結果為推理提供一個新的判斷篩選條件。


          簡單歸納與推理:

          根據題目提供的特征和數據,分析其中存在的規律和方法,并從特殊情況推廣到一般情況,并遞推出相關的關系式,從而得到問題的解決。




          28、幾何面積:


          基本思路:

          在一些面積的計算上,不能直接運用公式的情況下,一般需要對圖形進行割補,平移、旋轉、翻折、分解、變形、重疊等,使不規則的圖形變為規則的圖形進行計算;另外需要掌握和記憶一些常規的面積規律。


          常用方法:

          1.連輔助線方法

          2.利用等底等高的兩個三角形面積相等。

          3.大膽假設(有些點的設置題目中說的是任意點,解題時可把任意點設置在特殊位置上)。

          4.利用特殊規律

          ①等腰直角三角形,已知任意一條邊都可求出面積。(斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積)

          ②梯形對角線連線后,兩腰部分面積相等。

          ③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。




          29、時鐘問題—快慢表問題:


          基本思路:

          1、按照行程問題中的思維方法解題;

          2、不同的表當成速度不同的運動物體;

          3、路程的單位是分格(表一周為60分格);

          4、時間是標準表所經過的時間;

          5、合理利用行程問題中的比例關系;




          30、時鐘問題—鐘面追及:


          基本思路:

          封閉曲線上的追及問題。


          關鍵問題:

          ①確定分針與時針的初始位置;

          ②確定分針與時針的路程差;


          基本方法:

          ①分格方法:

          時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格,每小格我們稱為1分格。分針每小時走60分格,即一周;而時針只走5分格,故分針每分鐘走1分格,時針每分鐘走1/12分格。

          ②度數方法:

          從角度觀點看,鐘面圓周一周是360°,分針每分鐘轉 360/60度,即6°,時針每分鐘轉360/12X60度,即1/2度。




          31、濃度與配比:


          經驗總結:

          在配比的過程中存在這樣的一個反比例關系,進行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。

          溶質:溶解在其它物質里的物質(例如糖、鹽、酒精等)叫溶質。

          溶劑:溶解其它物質的物質(例如水、汽油等)叫溶劑。

          溶液:溶質和溶劑混合成的液體(例如鹽水、糖水等)叫溶液。


          基本公式:

          溶液重量=溶質重量+溶劑重量;

          溶質重量=溶液重量×濃度;

          濃度= 溶質/溶液×100%=溶質/(溶劑+溶質)×100%


          經驗總結:

          在配比的過程中存在這樣的一個反比例關系,進行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。




          32、經濟問題:


          利潤的百分數=(賣價-成本)÷成本×100%;

          賣價=成本×(1+利潤的百分數);

          成本=賣價÷(1+利潤的百分數);

          商品的定價按照期望的利潤來確定;

          定價=成本×(1+期望利潤的百分數);

          本金:儲蓄的金額;

          利率:利息和本金的比;

          利息=本金×利率×期數;

          含稅價格=不含稅價格×(1+增值稅稅率);




          33、不定方程:


          一次不定方程:

          含有兩個未知數的一個方程,叫做二元一次方程,由于它的解不唯一,所以也叫做二元一次不定方程;


          常規方法:

          觀察法、試驗法、枚舉法;


          多元不定方程:

          含有三個未知數的方程叫三元一次方程,它的解也不唯一;


          多元不定方程解法:

          根據已知條件確定一個未知數的值,或者消去一個未知數,這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程,按照二元一次不定方程解即可;


          涉及知識點:

          列方程、數的整除、大小比較;


          解不定方程的步驟:

          1、列方程;2、消元;3、寫出表達式;4、確定范圍;5、確定特征;6、確定答案;


          技巧總結:

          A、寫出表達式的技巧:用特征不明顯的未知數表示特征明顯的未知數,同時考慮用范圍小的未知數表示范圍大的未知數;

          B、消元技巧:消掉范圍大的未知數;




          34、循環小數:


          把循環小數的小數部分化成分數的規則:


          ①純循環小數小數部分化成分數:將一個循環節的數字組成的數作為分子,分母的各位都是9,9的個數與循環節的位數相同,最后能約分的再約分。


          ②混循環小數小數部分化成分數:分子是第二個循環節以前的小數部分的數字組成的數與不循環部分的數字所組成的數之差,分母的頭幾位數字是9,9的個數與一個循環節的位數相同,末幾位是0,0的個數與不循環部分的位數相同。


          分數轉化成循環小數的判斷方法:


          ①一個最簡分數,如果分母中既含有質因數2和5,又含有2和5以外的質因數,那么這個分數化成的小數必定是混循環小數。


          ②一個最簡分數,如果分母中只含有2和5以外的質因數,那么這個分數化成的小數必定是純循環小數。



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