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          北京物流信息聯盟

          高考數學大題如何"保分"?清北學霸教你六大絕招!高一高二也適用

          內蒙古集寧一中 2022-07-28 16:19:51




          高中里有句話,得數學者得高考,此言不虛,清北學生難見數學不足140的,反之,數學140多分的除非特別偏科,大學一般不會差。那么我們怎么“得數學”呢?


          針對目前高三的學生:如果你的數學水平不高,那么,你需要保住一定的分才能提升;如果中游水平,你需要保住一定的分才能突破;如果你是數學優秀生,你需要保住一定的分才能不敗。


          保分大題,是數學學科的“腰”,你發力的軸承。保分大題的范圍就是除去解析幾何與導數的所有大題,這些題難度一般,是所有人都可以通過一定訓練穩穩拿在手里的題。


          數學滿分150分,水平中等的同學,要爭取把46分的保分大題拿到手,為自己的解析幾何與導數留下“犯錯”的余地。


          而對于程度較差的同學,保分大題由于其“套路固定,思維簡單,計算量較小”的特點,也是提升與得分的基礎。


          即使是對于數學能力強的同學,高手過招時,導數、解析幾何不分伯仲,保分大題卻是體現差距的關鍵所在。再次贅言,還希望引起大家重視。


          本文主要講述學習方法與高考常用思維方法與常見易錯點,比較概括,也不可能面面俱到。特殊問題以及具體的思維方法還需要大家平日的積累與反復練習。





          建議


          首先一定要注意數列的離散性,在自然數集合里討論數列,便多了許多有用的限制條件,如。其次也可以從函數的角度看數列,即每一項的數值為n的函數,這是于利用變量替換的方法求解通項公式的思維基礎。數列中常見的遞推關系,可以理解為數列某種變換形式的“導函數”,尋求通項公式時應用的方法也不過累加,累乘,迭代等。從習題中尋找規律,尋找易錯點和考點,總結思路方法,熟悉基本定義與數列的常用性質。及時整理,及時反思,時刻警醒自己。






          基礎知識


          其中,基于等差或等比數列的性質會考察第一問。一般利用的為數列遞推表達式或者和的性質。這些內容老師會在上課時為大家詳細說明,也是復習的重點,甚至輔導書上都會有比較全的總結,這里不一一贅述。題設中會給出的條件一般為:某幾項數值,含和式的等式,含數列表達式的等式,數列遞推表達式。


          常見思路


          經過總結,大致有以下一系列常見思路。


          易錯點


          1.忽視等遞推關系成立的條件,從而忽視檢驗前幾項。

          2.忽視n為正整數的默認條件,冒然求導,或利用不等式得到非整數的取等條件。也會因此心理忽視這一個很好用的條件。

          3.裂項相消忘記留下了幾項??梢韵葘憥醉楎炞C。

          4.通過方程求解的數列可能會漏下情況。

          5.等比數列注意公比為1不等同于常數列(如0)。

          6.下角標的不規范可能會使“-1”模棱兩可,需要注意。

          7.累加法或累乘法漏掉第一項。

          等等,這些易錯點大家各有不同,還需要的是及時整理與反思。







          建議

          ?

          以圖形為基礎,挖掘角與邊的不等關系。善于利用邊角互換,善于利用公共邊與已知邊。注意范圍限制,注意多解與存在問題,不能忘記解三角形本身為幾何問題(幾何本意即為大地測量),要善用幾何方法,利用高線、垂線等特殊輔助線。解三角形的基礎是測量,問題多為求值或者求范圍。解三角形一般也會結合輔助角公式或者函數最值來考察,思維靈活而套路固定。在學習過程中,依然要總結規律,引用沈文選教授的話“積累基本圖,適時總結規律”。


          基礎知識

          ?


          常見思路

          ?

          1.利用已知邊(長度已知)進行邊角互化。

          2.反復利用公共邊。

          3.挖掘角度條件,邊長條件

          4.若出現四邊形,一般有兩種思路。延長成為三角形或者尋求對角線,分隔為兩個三角形。

          5.若出現圓的內接四邊形,利用好對角互補。

          6.邊角互化后若出現了求面積范圍的問題,一般建議利用角。見例題。



          注意銳角三角形的限制。我們的數學直覺告訴我們可以用圖像找到極值(直角時與正三角形時),我們不妨計算一下與答案相比較。



          之后大家再展開計算即可,其實最大值的取得有規律的,大家可以從下圖看出來(即兩個sin數值相等的時候有最大值,看圖就很直觀了,我取的是弧度為1的非特殊角)。



          若換為邊,則有4=b^2+c^2-bc,b和c是出現了,但是你發現利用不等式求最大值還好,最小值時既要利用“銳角”找出b與c范圍,又由于多變量的牽扯,還要利用規劃思想。心煩意亂的你利用三角換元(這個三角換元也很講求技巧),卻正好又導出了第一種方法的式子,真是費力不討好。



          易錯點


          1.忽視角的范圍。任何函數必然有其定義域,三角形中最普遍的是三角和為一百八十度,有時會有“銳角三角形”等的限制。

          2.忽視多解,正弦值為正說明的信息很少。一般與邊綜合判斷。若改角對應的邊不是最長邊,則比為銳角。但是若是,其銳鈍要再次判斷,無法判斷時則為多解。

          3.忽視公共邊,已知角,已知邊等。條件利用不足。

          4.面對大量計算懷疑自己的能力(一般情況下,你應該檢查一下,解三角形的計算式一般是美觀的)。

          5.基本公式出錯。我在這里不列舉那和角公式了,可以自己用向量證明。



          建議


          高中要求的有兩個事件(相互獨立,互斥)、兩大概型(古典概型與幾何概型)、四種抽樣與四類分布(兩點分布,二項分布,超幾何分布與正態分布)。其中都有一個很重要的關鍵詞即“等可能”。有同學可能會在處理相同模型時采取的方法不同而得到不同的結果,此時就應該考慮“等可能”這一條件是否被滿足。概率是與情況總數相聯系的,因此必須打好排列組合的基礎(對,基礎就可以)??傮w來講,要積累與思考幾類情況與模型的使用條件與計算方法。在答題時,分類不重不漏。積累自己犯下的錯誤,時刻警醒。概率統計需要大家回歸課本,分析課本案例,熟稔課本上出現的一切概念(樣本的重心值什么,回歸系數R有什么意義,與k作用相似的w等),才可以自如應對高考的變化。


          基礎知識


          1.分類的思想。

          2.分步完成的思想。

          3.上述幾類事件、概型,抽樣,分布的一切相關計算與應用都應爛熟于心。

          4.樣本數據的幾大特征。

          5.回歸方程的相關知識。15年高考考察了一次,也是一個容易被忽視的方面。

          6.分布列的寫法。

          7.善用對立事件。

          8.排列數與組合數的計算。(有時會有最值問題)

          9.掌握對頻率分布直方圖,莖葉圖與正態曲線的處理。


          常見思路


          1.先設事件,便于表示。每種情況以事件的組合寫出,便于依此列出計算式。

          2.找到所適用的模型,套用公式,直接計算。注意是要找到,認真閱讀條件,觀察取樣方法,列出相關計算式。

          3.按照一定依據分類不重不漏地列舉出所有可能情況。

          4.線性規劃問題,構造可行區域,尋求面積比。

          5.區別對待特殊量(如“某人是xx的粉絲,投票時必投xx,其余兩票隨機”)。

          6.分解問題,如“3:2贏”可以分解成“贏在第幾局”,從而列出計算式。

          7.利用對立事件求得難求的概率。

          8.抓住“至少”“至多”“恰好”等關鍵詞。

          9.利用E(ax+b)與D(ax+b)的計算公式。而離散型隨機變量的期望和均值一般相等(他們的定義式長的都一樣)。有一個現象是一般最“混亂”的情況概率最大。

          10.明白并記憶正態曲線的參數意義,記住表達式的樣子(見課本)以及曲線的形狀決定,以及原則。概率是以定積分的方式表示的。


          易錯點


          1.情況有重復或遺漏,分類依據不好。

          2.計算時盲目用公式,不檢查。

          3.答非所問。

          4.對公式記憶不清,應該當應用時反而去利用原理式計算,耽誤時間。

          5.對抽樣的特點分析不清就動手,注意區分“放回”與“拿出后不放回”。

          6.分析無條理,心煩意亂。建議將條件列表表示。

          7.將非等可能的事件應用到幾何概型(最常見,如角與線段)或古典概型。

          8.不會利用P(B|A)=P(AB)/P(A)來判斷AB是否相互獨立。

          9.概型判斷不清,誤認為出現坐標系就是幾何概型。



          建議


          將立體幾何中的三公理熟記于心,并牢記證明所用的八條定理。將立體問題轉化為平面問題是所有高中立體幾何的核心思路。為了照顧一些同學初中知識的欠缺,立體幾何中涉及的平面知識局限于特殊三角形,特殊四邊形以及圓的直徑所對圓周角為九十度等。甚至有了“出等腰就做高”等慣常而有效的做法。在學習過程中,主要是加強對公理、定理以及推論的證明及掌握,加強計算能力。在向量引入后,理科立體幾何幾乎成了“弱智”題,不需要大量思考,只需要仔細認真的計算就可以完成大部分習題。


          基礎知識


          1.立體幾何三公理(其中三個不共線的點確定一個平面在選擇題立體幾何與排列組合部分都有考察)。

          2.證明 平行(線線,線面,面面),垂直(線線,線面,面面)的幾何方法與向量方法。

          3.求線段長度(幾何方法與向量方法)。

          4.求角度(線線,線面,面面)幾何與向量方法。

          5.基本形體的定義。

          6.關于球的基本問題。

          7.直四棱柱模型的靈活應用。

          8.三視圖(大題中出現較少,作用是提供投影長度)。

          9.棱錐模型。

          10.三垂模型。

          11.三余弦模型。

          12.向量基底方法與建系方法(建系是利用特殊基底)。


          常見思路


          1. 建系,見直角就建系。但是可以靈活一些。

          2.利用基底向量求解異面直線的夾角。(即用其他簡單向量表示已知直線的一部分)

          3.利用體積不變,改變頂點求高線。

          4.利用平移,多數利用中位線。

          5.利用三垂線定理。

          6.將部分形體放入直四棱柱框架便于研究。

          7.存在性問題一般設,作答時應說明點的位置(如:AC中點處)。

          8.關于法向量:

          a)一般是用于求二面角,就會面臨判斷銳鈍的問題。一定要判斷向量的方向?。?!

          b)利用法向量求高我就不說了,原理是利用點乘的幾何意義。

          c)利用其求線線夾角,證明線面平行或垂直等也很簡單。

          d)求線面角時不要忘記線面角與線與法線的成角是互余的。


          易錯點


          1.公理定理等引用錯誤,條件不足。

          2.建系不嚴謹,默認直角等行為應當注意。

          3.計算失誤。

          4.判斷二面角的銳鈍錯誤。

          5.線面角的正弦值與余弦值應當注意。

          6.存在性問題一般都是存在的,不存在的情況一般可以從幾何上直接找矛盾。

          各種角的取值范圍不清楚,如線面成角一定是大于0小于等于Pi/2的。







          新考綱解讀


          近來聽說學校大量練習了很多思路不是十分常規的題目,但實際上,2017年新考綱在解析幾何方面并無變化,還在其他的地方弱化了幾何的要求。


          基本功


          相當一部分的解析幾何題目可以直接通過暴算的方法直接解出,可以說對基本功扎實的同學來說沒有什么技術含量。


          計算能力在數學物理化學等學科十分重要,不只是數學,包括理綜都會出現這樣的情況:在考試當中可能出現大量復雜的計算內容,并不是很難,卻會拉開相當大的區分度。因此,計算速度和準確度都應該大量訓練。


          筆者曾是物理競賽生,體會過被海量計算支配的恐懼,在此也提出一些提高計算能力的建議:


          ?一 .先從心理上戰勝:不要畏懼,而是要學著接受甚至熱愛有大計算量的題目,因為如果從現在開始重視,你的計算能力就會提高,從而更容易在計算量大的題目中占得先機(因為計算量大意味著此題并不需要什么新奇的想法,出題的難度總是平衡的),從而更加重視計算、熱愛計算,形成良性循環。


          二. 從練習上突破:平時的題目一定要算到底,不要有了思路就跳過。不論是平時練習小測還是考試犯的計算錯誤,都一定要把這個題目重新計算,直到算出正確結果為止。(計算是一種跨越學科的基本能力,計算極弱的同學,在上面多花點時間,收益的會是共計450分學科的成績騰飛)

          建議積累幾道典型的計算難題在積累本上(如2013山東卷理科圓錐曲線,話說逝去的山東卷大多以計算難而聞名),考前找個自習算一算題目,不求多,專門找計算相對困難的練,如果算對就會大幅提振信心,并起到熱身的作用,臨陣磨槍,不快也光。


          三. 從細心上根治:據測算,算錯的題目95%都是抄錯的,所以一定要規范書寫,尤其要規范草稿紙的用法。草稿紙一定要分題號分區域寫清楚,不要太省紙,方便剩余時間回查低級失誤。草稿紙建議折起來用,我推薦將A4紙較長的一段折成三部分,既有效利用空間,又避免了中間結果字母過多時一行寫不下的尷尬情況。平時也要采取措施對自己的計算錯誤進行適當的總結和懲罰。


          走正道

          ?

          老師和同學總結過大量的圓錐曲線小題中間結論,看似十分簡單有效,但根據實戰經驗,一定不要在考前突擊這些中間結論還以為如獲至寶。這些結論確實省時間,但一般的題目不會因為他們而簡單太多,一旦記錯結論還是致命的。所以,只需掌握所有的定義以及通用解題方法,然后完全交給自己的計算能力來解決。這些結論在能準確記憶住幾個的情況下可以適當利用,(畢竟他們還是幾何方法推出,而新考綱似乎有弱化幾何的趨勢)用一個算賺,不用也不虧。

          當然,如果可能,可以在了解結論的情況下熟練它們的推出方法,然后考試會現推(這不強求)。


          分類別

          ?

          圓錐曲線小題基本只有三種方法:使用定義;暴算求解;特殊值排除(解決定值問題有奇效)。


          大題一般有以下幾種:


          1、求特定的值(求某一條直線或者某個值),因為太簡單所以一般不考,在考試中如果出現一定是比較難算的,那就耐心算


          2、求定值:我們先取幾種特殊情況確定定值,心中有數,然后寫上必要的步驟(問老師什么必須寫在卷面上),然后裝作十分費力的消去一些值,整理出我們早已試驗得到的正確答案。


          3、求范圍:一般會整理出一個含未知數的式子,大多可用基本不等式解決,較難的題目考慮求導。自己可以總結什么情況下設x還是設y會更簡單一些。找到最值別忘了檢驗取等條件(也可以更為直觀的得到最值在什么情況下取得)。


          4、求軌跡:基本方法有幾何法(都是初中幾何知識+高中要求的定義)和消參法,沒有什么特別之處,注意檢查取值范圍(某條曲線的一部分)


          總之,圓錐曲線并不難,計算能力是關鍵。希望大家不要畏懼,而是努力把它化為自己保分題目中的一部分。


          另外,如果有的題目一時想不到特別好算的辦法,可以考慮直接解出點坐標(有一些題目是故意這么設計的)。







          不等式選講

          ?

          建議

          ?

          不等式向來是思維靈活的,選考部分的熱門是不等式串,柯西不等式和絕對值三角不等式。又由于絕對值三角不等式思維簡單(分類討論),一般出現時就會讓大家很開心。但是對于柯西不等式與不等式串,技巧性就更加強。學習時建議多積累方法,注意觀察多種方法證明的可行性,不同的不等式有不同的適應范圍,放縮能力也有“好壞之分”。所以要多多積累,多多思考。嚴抓條件,及時整理。







          極坐標系與參數方程


          建議


          極坐標系與參數方程套路明確,思路簡單,計算量小,是眾多考生的最愛。但是極坐標方程與參數方程許多是基于幾何意義產生的,如果只是知道形式不知內核。題型稍作變化就會出錯,手忙腳亂。因此建議學習時仔細標注易錯點,考試時留心參數的幾何意義及范圍,仔細讀題,認真對待,才能做到不失分。


          極坐標方程


          1.注意極徑r的幾何意義(可以取到全體實數),極角φ的定義與必修四中類似,在寫方程時一定要注意標注范圍。

          2.牢記幾類特殊的極坐標方程,簡單的方程可以自己畫出圖像。

          3.注意極坐標方程與直角坐標方程的互化,以及化后的參數取值范圍。

          4.極坐標下要注意畫圖,畫圖會給你許多思路與簡便的方法,節省時間。

          5.有必要掌握柱坐標系與球坐標系的坐標互化,同樣畫圖可以幫助理解與記憶。

          6.極坐標系中也會有余弦定理與正弦定理的應用,一定要靈活。

          7.出現“掃過的面積”一定要畫圖,不要憑空想象以免漏掉某部分的面積。

          8.其中的對稱(如關于極軸,極點等)可以做適當了解,高考目前沒有考察過。


          參數方程與坐標變換


          1.注意參數范圍。參數可以沒有直接的幾何意義,但是一定有范圍。養成良好習慣。

          2.一般為直線的參數方程和圓的參數方程。直線的參數方程考察最多,引入了方向向量的概念,要熟知參數t的幾何意義以及其應用。(結合韋達定理與其他曲線方程聯立)

          3.直線的參數方程要注意t的系數的平方和是否為1,若否,要標準化后再進行計算。

          4.區分“一般方程”,“標準方程”和“參數方程”。三種方程的寫法不同。

          5.坐標變換注意的一點就是變量替換思想。比如圓到橢圓, x=x’,y’=2y再將x’與1/2 y’帶入原來x,y滿足的方程即可。



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